Questão 14

ITA 2010

Física

[ITA 2010 - 1 FASE]

Considere as cargas elétricas q₁ = 1 C, situada em x = - 2m, e q₂ = - 2 C, situada em x = - 8 m. Então, o lugar geométrico dos pontos de potencial nulo é:

Uma esfera que corta o eixo x nos pontos x = -4 m e x = 4 m

uma esfera que corta o eixo x nos pontos x = – 16 m e x = 16 m.

um elipsoide que corta o eixo x nos pontos x = – 4 m e x = 16 m.

um hiperboloide que corta o eixo x no ponto x = – 4 m.

um plano perpendicular ao eixo x que o corta no ponto x = – 4 m.

Gabarito:

Uma esfera que corta o eixo x nos pontos x = -4 m e x = 4 m

Resolução:

O potencial de uma carga pontual num ponto a uma distância R dela é $V = frac{kQ}{R}$ . Da geometria analítica sabemos que:

$R^{2} = (x-a)^{2} + (y-b)^{2} + (z-c) ^{2}$

Para q₁:

$V_{1} = frac{kq_{1}}{sqrt{(x-(-2))^{2}+(y-0)^{2} + (z-0)^{2}}}$

$V_{1} = frac{kq_{1}}{sqrt{(x+2)^{2} + y^{2}+z^{2}}}$

Para q₂:

$V_{2} = frac{kq_{2}}{sqrt{(x-(-8))^{2}+(y-0)^{2} + (z-0)^{2}}}$

$V_{2} = frac{kq_{2}}{sqrt{(x+8)^{2} + y^{2}+z^{2}}}$

Porém:

$V_{p} = 0 = V_{1} + V_{2}$

$frac{kq_{1}}{sqrt{(x+2)^{2} + y^{2}+z^{2}}} + frac{kq_{2}}{sqrt{(x+8)^{2} + y^{2}+z^{2}}} = 0$

Substituindo os valores, temos:

$frac{9 cdot 10^{9}}{sqrt{(x+2)^{2} + y^{2}+z^{2}}} - frac{9 cdot 10^{9} cdot 2}{sqrt{(x+8)^{2} + y^{2}+z^{2}}} = 0$

$frac{1}{(x+2)^{2} + y^{2} + z^{2}} = frac{4}{(x+8)^{2} + y^{2} + z^{2}}$

$(x+8)^{2} + y^{2} + z^{2} = 4(x+2)^{2} + 4y^{2} + 4z^{2}$

$x^{2} + 16 x + 64 - 4x^{2} - 16 x - 16 = 4y^{2} - y^{2} + 4z^{2} - z^{2}$

$-3x^{2} + 48 = 3y^{2} + 3z^{2}$

$frac{48}{3} = frac{3x^{2} + 3y^{2} + 3z^{2}}{3}$

$16 = x^{2} + y^{2} + z^{2}$

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4^{2}$

Esfera de raio igual a 4. Corta, portanto, o eixo x em x = 4 m e x = - 4 m.

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