Questão 22

ITA 2010

Física

(ITA - 2010 - 2 FASE) Um pequeno bloco desliza sobre uma rampa e logo em seguida por um “loop” circular de raio R, onde há um rasgo de comprimento de arco $2Rvarphi$ , como ilustrado na figura. Sendo g a aceleração da gravidade e desconsiderando qualquer atrito, obtenha a expressão para a altura inicial em que o bloco deve ser solto de forma a vencer o rasgo e continuar em contato com o restante da pista.

Gabarito:

Resolução:

O bloco parte do repouso na altura h e atinge o ponto B com velocidade v, na altura $R + Rcosvarphi$ .

Pelo princípio da conservação da energia mecânica:

$mgh = frac{mv^{2}}{2} + mg (R + Rcos varphi)$

$h = frac{frac{v^{2}}{2}+gR(1+cosvarphi)}{g}$

$h = frac{v^{2}}{2g} + frac{Rg(1+cosvarphi)}{g}$

$h = frac{1}{2g} cdot v^{2} + R(1+cosvarphi)$

Para continuar em contato com o restante da pista o bloco deve realizar um lançamento oblíquo, descrevendo o arco de parábola BC. Como mostra a figura acima, o alcance horizontal desse lançamento é:

$D = 2Rsenvarphi$

Mas o alcance horizontal de um lançamento oblíquo com velocidade de lançamento v é calculado por:

$D frac{2v^{2}}{g} sen varphi cosvarphi$

Igualando as equações 2 e 3, temos:

$frac{2v^{2}}{g} sen varphi cosvarphi = 2Rsenvarphi$

$v^{2} frac{Rg}{cos varphi}$

Substituindo essa expressão na primeira equação, vem:

$h = frac{1}{2g} (frac{Rg}{cosvarphi}) + R(1+cosvarphi)$

$h = frac{R}{2cosvarphi} + R(1+cosvarphi)$

$h = frac{R+2Rcosvarphi(1+cosvarphi)}{2cosvarphi}$

$h = frac{R[1+2cosvarphi(1+cosvarphi)]}{2cosvarphi}$

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