Questão 23

ITA 2010

Física

(ITA - 2010 - 2 FASE) Uma massa m₁ com velocidade inicial V_o colide com um sistema massa-mola m₂ e constante elástica k, inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito, conforme ilustra a figura. Determine o máximo comprimento de compressão da mola, considerando desprezível a sua massa.

Gabarito:

Resolução:

As variações de velocidades na colisão ocorrem somente pela interação entre a massa m₁e a massa m₂formando, portanto, um sistema mecanicamente isolado. Isto posto, há conservação do momento linear no sistema que engloba m₁, m₂ e a mola.

A compressão máxima da mola ocorre quando os dois corpos têm a mesma velocidade (V), ao final da deformação. Assim:

$m_{1}V_{0} = (m_{1} + m_{2})V$

$V = frac{m_{1}V_{0}}{m_{1}+m_{2}}$

O sistema é também conservativo, pois a força elástica é uma força conservativa. Pelo princípio da conservação da energia mecânica:

$frac{m_{1}V_{0}^{2}}{2} = frac{kx^{2}}{2} + frac{(m_{1}+m_{2})V^{2}}{2}$

Substituindo a primeira equação na segunda:

$m_{1}V_{0}^{2} = kx^{2} + (m_{1} +m^{2}) cdot (frac{m_{1}V_{0}}{m_{1}+m_{2}})^{2}$

$m_{1}V_{0}^{2} = kx^{2} + frac{m_{1}+m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}} cdot m_{1}^{2}V_{0}^{2}$

$m_{1}V_{0}^{2} - frac{m_{1}^{2}V_{0}^{2}}{m_{1}+m_{2}} = kx^{2}$

$m_{1}V_{0}^{2} ( 1 - frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}) = kx^{2}$

$kx^{2} = m_{1}V_{0}^{2} ( frac{m_{1}+m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}})$

$x = sqrt{m_{1}V_{0}^{2}frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

$x = V_{0} frac{m_{1}m_{2}}{k(m_{1}+m_{2})}$

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