Questão 6

ITA 2013

Matemática

[ITA - 2013 - 1 FASE] Considere as funções e , da variável real , definidas, respectivamente, por

$f(x) = e^{x^2 + ax + b}$ e

em que $a$ e $b$ são números reais. Se , então pode-se afirmar sobre a função composta que

A

.

B

∄ $gcirc f$

C

nunca se anula.

D

está definida apenas em _.

E

admite dois zeros reais distintos.

Gabarito:

admite dois zeros reais distintos.

Resolução:

$egin{align*} f(-1) &= 1\ f(-2) &= 1 end{align*}$

$egin{align*} e^{1-a+b} &= 1\ e^{4-2a+b}&= 1 end{align*}$

$egin{align*} 1-a+b &= 0\ 4-2a+b &=0 end{align*}$

$egin{align*} a &= 3\ b &= 2 end{align*}$

$f(x)=e^{x^{2}+3x+2}$

$g(x)=In (frac{ax}{3b})$ $Rightarrow$ $In(frac{x}{2})=Inx-In2$

$g$ ° $f(x)=In(e^{x^{2}+3x+2})-In2$

$x^{2}+3x+2-In2$

$Delta =3^{2}-4.1.(2-In2)$

$1+4In2>0$

Desse modo, g ° f(x) admite duas raízes reais distintas.

Gabarito: e)

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