Questão 8

ITA 2013

Matemática

(ITA - 2013) Seja $n > 6$ um inteiro positivo não divisível por 6. Se, na divisão de $n^2$ por 6, o quociente é um número ímpar, então o resto da divisão de $n$ por 6 é

Gabarito:

Resolução:

Como n não é divisível por 6, temos 5 possibilidades para n:

$n_1=6k+1$

$n_2=6k+2$

$n_3=6k+3$

$n_4=6k+4$

$n_5=6k+5$

Vamos analisar as possibilidades de n²::

$(n_1)^2=(6k+1)^2=36k^2+12k+1=6(6k^2+2k)+1$ → quociente na divisão por 6: $6k^2+2k$ ⇒ quociente é par

$(n_2)^2=(6k+2)^2=36k^2+24k+4=6(6k^2+4k)+4$ → quociente na divisão por 6: $6k^2+4k$ ⇒ quociente é par

$(n_3)^2=(6k+3)^2=36k^2+36k+9=6(6k^2+6k+1)+3$ → quociente na divisão por 6: $6k^2+6k+1$ ⇒ quociente é ímpar

$(n_4)^2=(6k+4)^2=36k^2+48k+16=6(6k^2+8k+2)+4$ → quociente na divisão por 6: $6k^2+8k+2$ ⇒ quociente é par

$(n_5)^2=(6k+5)^2=36k^2+60k+25=6(6k^2+10k+4)+1$ → quociente na divisão por 6: $6k^2+10k+4$ ⇒ quociente é par

Pela análise, vemos que a única opção é $n_3=6k+3$ . Logo, o resto da divisão de n por 6 é 3.

Alternativa correta é Letra C.

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