Questão 254

ITA 2013

Matemática

[ITA - 2013 - 1 FASE] Considere $A epsilon M_{5x5}(mathbb{R})$ com $det(A)=sqrt{6}$ e $alpha epsilon mathbb{R}$ {0}. Se $det(alpha A^tAA^t)=sqrt{6}alpha ^2$ , o valor de $alpha$ é

$frac{1}{6}$

$frac{sqrt6}{6}$

$frac{sqrt[3]{36}}{6}$

$1$

$sqrt {216}$

Gabarito:

$frac{sqrt[3]{36}}{6}$

Resolução:

1) Se uma matriz A, quadrada de ordem m, for multiplicada por um número real p qualquer, então seu determinante será multiplicado por p^m.

$\ det(alpha A^tAA^t) = alpha ^5det(A^tAA^t)$

2) O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes de cada uma delas.

$alpha ^5det(A^tAA^t) = alpha ^5det(A^t)det(A)det(A^t)$

3) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta. -> det A=det A^t

$alpha ^5det(A^t)det(A)det(A^t) = alpha ^5det(A)^3$

4) Logo,

$alpha ^5det(A)^3=sqrt{6}alpha ^2$

5) Como $det(A)=sqrt{6}$

$alpha ^5(sqrt{6})^3=sqrt{6}alpha ^2$

$frac{alpha ^5}{alpha ^2}=frac{sqrt{6}}{sqrt{6}^3}$

$alpha ^3=frac{sqrt{6}}{sqrt{6}^3}$

$alpha^3 =frac{sqrt{2}sqrt{3}}{6sqrt{2}sqrt{3}}$

$alpha ^3=frac{1}{6}$

$alpha =frac{1}{sqrt[3]{6}}=frac{1}{sqrt[3]{6}}cdotfrac{sqrt[3]{36}}{sqrt[3]{36}}=frac{sqrt[3]{36}}{6}$

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