Questão 17

Matemática

[ITA - 2013 - 1 FASE]Sobre a parábola definida pela equação $x^2 + 2xy + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$ pode-se afirmar que

ela não admite reta tangente paralela ao eixo $Ox$ .

ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo $Ox$ .

ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo $Ox$ .

a abscissa do vértice da parábola é $x = -1$ .

a abscissa do vértice da parábola é $x = -frac{2}{3}$

Gabarito:

ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo $Ox$ .

Resolução:

Podemos traçar um sistema envolvendo a reta t e a parábola $lambda$ :

$left{egin{matrix} y=a\ x^{2}+2xy+y^{2}-2x+4y+1=0 end{matrix} ight.$

$x^{2}+2ax+a^{2}-2x+4a+1=0$

$x^{2}+x(2a-2)+a^{2}+4a+1=0$

$Delta =0$

$Delta Rightarrow (2a-2)^{2}-4(a^{2}+4a+1) = 0$

$4a^{2}-8a+4-4a^{2}-16a-4=0$

$-24a=0$

$a=0$

O sistema possui uma solução - a reta tangente à parábola e paralela ao eixo Ox é y = 0

Gabarito: b)

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