Questão 10

ITA 2013

Matemática

(ITA 2013 - 2 fase - Questão 10)

Seja ABCDEFGH um paralelepípedo de bases retangulares ABCD e EFGH, em que A, B, C e D são, respectivamente, as projeções ortogonais de E, F, G e H. As medidas das arestas distintas AB, AD e AE constituem uma progressão aritmética cuja soma é 12 cm. Sabe-se que o volume da pirâmide ABCF é igual a 10 cm³. Calcule:

a) As medidas das arestas do paralelepípedo.

b) O volume e a área total da superfície do paralelepípedo.

Gabarito:

Resolução:

Conforme o enunciado, tomando $AB = x - r$ , $AD = x$ e $AE = x + r$ , já que os três segmentos formam uma progressão aritmética, vamos construir a seguinte figura:

Sabendo que a soma da PA é 12, temos:

$(x-r) + x + (x+r) = 12$
$3x = 12$
$x = 4$

Sendo o volume da piramide ABCF igual a 10 cm³, temos que:

$V_{piramide} = frac{1}{3}cdot bh$

$V_{p} = frac{1}{3}cdot left ( frac{ABcdot BC }{2} ight ) cdot left ( BF ight )$

$V_{p} = frac{1}{3}cdot left ( frac{(x-r)cdot x}{2} ight ) cdot left ( x+r ight )$

$V_{p} = frac{16 - 4r}{6} cdot ( 4+r)$

$V_{p} = frac{64 - 16r + 16r - 4r^2}{6}$

$V_{p} = frac{32 -2r^2}{3}$

$10 = frac{32 -2r^2}{3}$

$32 -2r^2 = 30$

$r^2 = 1$

$r = pm1$

Note que independente de qual valor de r escolhermos, as arestas serão as mesmas e com o mesmo valor, mudando apenas qual dimensão será maior (altura, largura ou comprimento). Sendo assim vamos assumir r = 1, portanto:

$AB = 4-1 = 3$
$AD = 4$
$AE = 4+1 = 5$