Questão 2

ITA 2013

Matemática

(ITA 2013 - 2 fase - Questão 2)

Determine o maior domínio $mathrm{D subset mathbb{R}}$ da função.

$f : D ightarrow mathbb{R}, f(x) = log_{mathrm{x} left ( frac{pi}{mathrm{4}} -mathrm{x} ight )} (mathrm{4 , sen , x , cos , x -1})$

Gabarito:

Resolução:

As condições de existência da função $f(x) = log_{mathrm{x} left ( frac{pi}{mathrm{4}} -mathrm{x} ight )} (mathrm{4 , sen , x , cos , x -1})$ são:

a) $x left (frac{pi}{4} -x ight ) > 0$ :

Resolvendo $x left (frac{pi}{4} -x ight ) = 0$ , temos que as raízes são $x = 0$ e $x = frac{pi}{4}$ , como a concavidade da parábola é para baixo temos que $x left (frac{pi}{4} -x ight )$ será positivo e maior que zero, quando $0 < x < frac{pi}{4}$ .

b) $x left (frac{pi}{4} -x ight ) eq 1$ :

O que é verdade para qualquer valor de $x in mathbb{R}$ , já que ao desenvolvermos a equação $x^2 - frac{pi}{4}x + 1 = 0$ vemos que ela não tem raízes reais.

c) $4 sen(x)cdot cos(x) - 1 > 0$ :

Usando as relações trigonométricas, temos:

$2sen(2x) - 1 > 0$

$sen(2x) > frac{1}{2}$ $Rightarrow frac{pi}{12} + kpi < x < frac{5pi}{12} + kpi$

Porém, por (a), queremos encontrar um $x < frac{pi}{4}$ , logo o único $k$ possível será $k = 0$ .

Unindo todas as condições de existência, temos que o domínio da função será:

$D = left { x in mathbb{R}mid frac{pi}{12} < x < frac{pi}{4} ight }$

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