Questão 6

ITA 2013

Matemática

(ITA 2013 - 2 fase - Questão 6)

Considere o sistema nas variáveis reais x e y:

$left{egin{matrix} x , sen , alpha + 3y , cos , alpha = a \ x , cos , alpha + y , sen , alpha = b, end{matrix} ight.$

com $alpha in left [ 0, frac{pi}{2} ight [$ e $a, b in mathbb{R}$ . Analise para que valores de $alpha$ , a e b o sistema é (i) possível determinado, (ii) possível indeterminado ou (iii) impossível, respectivamente. Nos casos (i) e (ii), encontre o respectivo conjunto-solução.

Gabarito:

Resolução:

$(i)$ O sistema será possível e determinado cado a determinante de $A = left| egin{array}{rcr} sen(alpha) & 3cos(alpha)\ cos(alpha) & sen(alpha) end{array} ight| = sen^2(alpha) - 3cos^2(alpha)$ seja diferente de zero, independente dos valores de a e b. Sendo assim, temos:

$sen^2(alpha) - 3cos^2(alpha) = 1 - 4cos^2(alpha)$

$1 - 4cos^2(alpha) eq 0 Rightarrow$

$Rightarrow 4cos^2(alpha) eq 1 Rightarrow$

$Rightarrow cos^2(alpha) eq frac{1}{4} Rightarrow$

$Rightarrow cos(alpha) eq pm frac{1}{2}$

No enunciado é dito que $alpha in left [ 0, frac{pi}{2} ight [$ , logo o único valor que $cos(alpha)$ não pode assumir, é $cos(alpha) eq frac{1}{2} Rightarrow alpha eq frac{pi}{3}$ .

Para resolvermos esse sistema, podemos utilizar o Método de Cramer, sendo assim, temos:

$D_{x} = left| egin{array}{rcr} a & 3cos(alpha)\ b & sen(alpha) end{array} ight| = acdot sen(alpha) - 3b cdot cos(alpha)$

$D_{y} = left| egin{array}{rcr} sen(alpha) & a\ cos(alpha) & b end{array} ight| = bcdot sen(alpha) - a cdot cos(alpha)$

$x = dfrac{D_{x}}{det(A)} = dfrac{acdot sen(alpha) - 3b cdot cos(alpha)}{1 - 4cos^2(alpha)}$

$y = dfrac{D_{y}}{det(A)} = dfrac{bcdot sen(alpha) - a cdot cos(alpha)}{1 - 4cos^2(alpha)}$

Portanto, o conjunto solução desse sistema é:

$S = left { frac{acdot sen(alpha) - 3b cdot cos(alpha)}{1 - 4cos^2(alpha)}; ext{ } frac{bcdot sen(alpha) - a cdot cos(alpha)}{1 - 4cos^2(alpha)} ight }$ .

$(ii)$ Para que o sistema seja possível e indeterminado, temos que $det(A) = 0$ , então $alpha = frac{pi}{3}$ .

Então teremos:

$cos(alpha) = frac{1}{2}$ e $sen(alpha) = frac{sqrt{3}}{2}$

$egin{cases} dfrac{sqrt{3}}{2}cdot x+dfrac{3}{2}cdot y=a \\ dfrac{1}{2}cdot x+dfrac{sqrt{3}}{2}cdot y=b end{cases} Rightarrow$ $egin{cases} sqrt{3}x+3y=2a \ x+sqrt{3}y=2b end{cases} Rightarrow$ $egin{cases} sqrt{3}x+3y=2a \ sqrt{3}x+3y=2sqrt{3}cdot b end{cases}$