Questão 4
ITA 2013
(ITA 2013 - 2 fase - Questão 4)
Quantos tetraedros regulares de mesma dimensão podemos distinguir usando 4 cores distintas para pintar todas as suas faces? Cada face só pode ser pintada com uma única cor.
Gabarito:
Resolução:
Dividindo em casos temos:
(i) Usando apenas uma cor:
Existem 4 possibilidades
(ii) Utilizando 2 cores, teremos:
a) Duas faces de uma cor e outras duas de outra cor:
possibilidades
b) Três faces de uma cor e outra diferente:
possibilidades
(iii) Utilizando três cores distintas, nesse caso teremos duas faces da mesma cor e outras duas de cores distintas:
possibilidades
(iv) Utilizando todas as quatro cores:
Ao invertermos duas das cores, teremos duas possibilidades, as demais serão apenas rotações de uma dessas duas.
Somando, todas as possibilidades, teremos:
4 + 6 + 12 + 12 +2 = 36 possibilidades no total.