Questão 8

ITA 2013

Matemática

(ITA 2013 - 2 fase - Questão 8)

Determine a área da figura plana situada no primeiro quadrante e delimitada pelas curvas

$mathrm{(y - x - 2)(y + frac{x}{2} - 2) = 0} e mathrm{x^2 - 2x + y^2 - 8 = 0}$

Gabarito:

Resolução:

1) Analisando: $(y - x - 2)(y + frac{x}{2} - 2) = 0$

1.1) Utilizar o princípio da multiplicação por zero:

$y-x-2=0 ; ou; y+frac{x}{2}-2=0$

1.2) Logo, as soluções são:

$x=y-2,:x=-2y+4$

2) Analisando: $x^2 - 2x + y^2 - 8 = 0$

$x^2-2x+y^2=8$

$left(x-1 ight)^2+y^2=9$

Trata-se de uma circunferência

3) Analisando as equações no plano cartesiano:

4) A área procurada é:

5) O objetivo é encontrar a soma das áreas 1 e 4:

6) Calculando a área 1: Setor circular formado por 1+2 menos o triângulo (2).

6.1) Calculando a área do setor circular:

$A = frac{pi cdot 3^2}{4} = frac{9pi}{4}$

6.2) Calculando a área do triângulo:

6.2.1) Encontrando o ponto de encontro da $x=-2y+4$ e x=1

1 = -2y+4

2y=3

y=3/2

Área do triângulo (2) = 3 * (3/2) / 2 = 9/4

6.3) Logo, a área 1 será

$A_1 = frac{9pi-9}{4}$

7) Calculando a área 4: Encontrar os pontos do triângulo e utilizar o determinante.

7.1) Encontrando o ponto de encontro da reta x=y-2 e da circunferência.

$(y-2-1)^2+y^2=9$

$2y^2-6y=0$

$y=3,:y=0$

A resposta que queremos é y=3 , logo x=1. (1,3)

7.2) Encontrando o ponto de encontro da reta $x=y-2:e:x=-2y+4$

y-2 = -2y+4

y=2, x=0 (0,2)

7.3) Encontrando o ponto de encontro da $x=-2y+4$ e x=1

1 = -2y+4

2y=3

y=3/2 (1, 3/2)

7.4) Calculando a área sabendo que os pontos são (1,3), (0,2) e (1, 3/2):

$A = frac{1}{2} cdot |egin{vmatrix} 1 & 3 & 1\ 0 & 2 & 1\ 1 & frac{3}{2} & 1 end{vmatrix}|$

$A = frac{1}{2} cdot frac{3}{2} = frac{3}{4}$

8) Somando as áreas 1 e 4:

$A = frac{9pi-9}{4}+frac{3}{4}=oxed{frac{9pi-6}{4}}$

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