Questão 1

ITA 2013

Matemática

(ITA 2013 - 2 fase - Questão 1)

Para z = 1 + iy, y > 0, determine todos os pares (a, y), a > 1, tais que z¹⁰ = a. Escreva a e y em função de Arg z.

Gabarito:

Resolução:

Seja $z = ho cdot(cos( heta ) + icdot sen( heta))$ , com $0 < heta < frac{pi}{2}$ já que $y > 0$ .

Se $z^{10} = a$ , com $a > 1$ , então temos:

$z^{10} = ho^{10}cdot(cos(10 cdot heta) + i cdot sen(10 cdot heta)) = a$

Como colocamos na forma trigonométrica, podemos concluir que:

$ho^{10} = a$ e $10cdot heta = 2kpi$

Com isso podemos montar o sistema abaixo:

$egin{cases} 10cdot heta = 2kpi \ 0 < heta < frac{pi}{2} end{cases} Leftrightarrow egin{cases} heta = frac{kpi}{5} \ 0 < heta < frac{pi}{2} end{cases}$

Logo os possíveis valores de $heta$ são: $heta = frac{pi}{5}$ ou $heta = frac{2pi}{5}$ .

Sendo assim, teremos:

$ho cdot cos( heta) = 1 Leftrightarrow ho = frac{1}{cos( heta)}$

$ho ^{10} = a Rightarrow a = left (frac{1}{cos( heta)} ight )^{10}$

$y = hocdot sen( heta) Leftrightarrow y = frac{sen( heta)}{cos( heta)} Leftrightarrow y = tg( heta)$

Portanto, concluímos que:

$a = left (frac{1}{cos( heta)} ight )^{10}$ e $y = tg( heta)$ , com $heta = frac{pi}{5}$ ou $heta = frac{2pi}{5}$ .

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