Questão 3

ITA 2013

Matemática

(ITA 2013 - 2 fase - Questão 3)

Considere o polinômio $P(m) = am^2 - 3m - 18$ , em que $mathrm{a} in mathbb{R}$ e tal que a soma das raízes de P é igual a 3. Determine a raiz m de P tal que duas, e apenas duas, soluções da equação em x, $x^3 + mx^2 + (m + 4)x + 5 = 0$ , estejam no intervalo ]–2, 2[.

Gabarito:

Resolução:

Conforme os dados fornecidos pelo enunciado, temos que a soma das raízes é igual a 3, logo:

$-frac{-3}{a} = 3 Leftrightarrow a = 1$

Substituindo a, no polinômio, temos:

$P(m) = m^2 - 3m -18 = (m - 6)(m+3)$

Portanto, as raízes do polinômio são: $m = 6$ e $m = -3$ .

Agora vamos analisar para quais valores de $m$ a equação $x^3 + mx^2 + (m + 4)x + 5 = 0$ , tenha apenas duas soluções no intervalo $]-2,2[$ . Olhando para a equação $x^3 + mx^2 + (m + 4)x + 5 = 0$ , facilmente conseguimos perceber que $x = -1$ é um de suas raízes, já que: $-1 + m -m -4 + 5 = 0$ é verdadeiro.