Questão 264

ITA 2014

Física

(ITA-2014)Uma esfera de massa m tampa um buraco circular de raio r no fundo de um recipiente cheio de água de massa específica ρ. Baixando-se lentamente o nível da água, num dado momento a esfera se desprende do fundo do recipiente. Assinale a alternativa que expressa a altura h do nível de água para que isto aconteça, sabendo que o topo da esfera, a uma altura a do fundo do recipiente, permanece sempre coberto de água.

m/(ρπa²)

m/(ρπr²)

a(3r² + a²)/(6r²)

a/2 – m/(ρπr²)

a(3r² + a²)/(6r²) – m/(ρπr²)

Gabarito:

a(3r² + a²)/(6r²) – m/(ρπr²)

Resolução:

Se a base da calota fosse banhada pelo líquido, o empuxo seria dado por:

$V_{i}=V_{calota}=frac{pi.a}{6}.(3r^{2}+a^{2})$

$E= ho.V_{i}.g=frac{ ho.pi.a}{6}.(3r^{2}+a^{2})g$

Como a base da calota não está banhada no líquido, devemos descontar a força que o líquido aplica nessa região:

$F_{l}= ho.g.h.pi.r^{2}$

Assim, a força F, efetivamente aplicada pelo líquido, será:

$F=E-F_{l}=frac{ ho.pi.a}{6}.(3r^{2}+a^{2}).g- ho.g.h.pi.r^{2}$

$F= ho.pi.g.(frac{a(3r^{2}+a^{2})}{6}-h.r^{2})$

Esta força deverá equilibrar o peso da calota:

$F=P$

$ho.pi.g(frac{a.(3r^{2}+a^{2})}{6}-h.r^{2})=m.g$

$h.r^{2}=frac{a(3r^{2}+a^{2})}{6}-frac{m}{ ho.pi}Rightarrow h=frac{a(3r^{2}+a^{2})}{6.r^{2}}-frac{m}{ ho.pi.r^{2}}$

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