Questão 38

ITA 2019

Matemática

(ITA - 2019 - 1ª FASE)

Seja p(x) = x³+ ax²+ bx um polinômio cujas raízes são não negativas e estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma de seus coeficientes é igual a 10, podemos afirmar que a soma das raízes de p(x) é igual a

$frac{9}{2}$

10.

Gabarito:

Resolução:

Sejam $x_1=x_1$ , $x_2=x_1+r$ e $x_3=x_1+2r$ as raízes de $p$ .

Sendo a soma dos coeficientes de $p$ igual a $10$ , temos que:

$1+a+b=10Rightarrow a+b=9$

Pelas relações de Girard,

$left{egin{matrix}x_1+x_2+x_3=-a \ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=b end{matrix} ight.$

Adicionalmente, temos que $p(x)=0Rightarrow x(x^2+ax+b)=0$ . Portanto, uma das raízes é igual a $0$ . Sendo todas elas não negativas, temos que $0=x_1$ é a menor delas $Rightarrow x_2=r, x_3=2r$

Substituindo nas relações de Girard, temos que:

$left{egin{matrix}x_1+x_2+x_3=3r=-a =b-9\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=0 imes r + 0 imes 2r + r imes 2r = 2r^2=b end{matrix} ight.$

Portanto,

$2r^2-3r+9=0Rightarrow r = frac{3pm 9}{4}$

Como $x_2, x_3 geq 0$ , $r$ deve ser maior do que $0 Rightarrow r=frac{3+9}{4}=3$

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