Questão 44

ITA 2019

Matemática

(ITA - 2019 - 1ª FASE)

As faces de dez moedas são numeradas de modo que: a primeira moeda tem faces 1 e 2; a segunda, 2 e 3; a terceira, 3 e 4, e assim sucessivamente até a décima moeda, com faces 10 e 11. As dez moedas são lançadas aleatoriamente e os números exibidos são somados. Então, a probabilidade de que essa soma seja igual a 60 é:

$frac{63}{128}$

$frac{63}{256}$

$frac{63}{512}$

$frac{189}{512}$

$frac{189}{1024}$

Gabarito:

$frac{63}{256}$

Resolução:

Seja $N_k$ a variável aleatória representando o resultado do arremesso da k-ésima moeda. Podemos escrever $N_k$ como:

$N_k=k+B_k$ ,

onde $B_k$ é uma variável aleatória binária, com $p(B_k=1)=p(B_k=0)=frac{1}{2}$

Seja $S=N_1+N_2+...+N_{10}$ a variável aleatória representando a soma dos 10 arremessos de moeda. Temos que:

$S=(1 + B_1) + (2 + B_2) + ... + (10 + B_{10})=(1+2+...+10) + (B_1+B_2+...+B_{10})=55+(B_1+B_2+...+B_{10})$

Logo, $p(S=60)=p(B_1+B_2+...+B_{10}=5)$

O termo $B = (B_1+B_2+...+B_{10})$ segue distribuiçao binomial, com parâmetros $n=10,p=frac{1}{2}$ .

Portanto,

$p(B=k)={10 choose k}(frac{1}{2})^k(1-frac{1}{2})^{10-k}={10 choose k}(frac{1}{2})^{10}=frac{1}{1024}{10 choose k}$

Em particular,

$p(B=5)=frac{1}{1024}{10 choose 5}=frac{1}{1024}frac{10!}{5! imes5!}=frac{252}{1024} = frac{63}{256}$

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