Questão 43

ITA 2020

Matemática

(ITA - 2020 - 1ª FASE)

A parte real da soma infinita da progressão geométrica cujo termo geral a_n é dado por

$a_{n} = frac{cos(n) + icdot sen(n)}{2^n}, n = 1,2,3,...$

é igual a

$frac{-1+2cos(1)}{5-4cos(1)}$

$frac{-2+4cos(1)}{5-4cos(1)}$

$frac{4-2cos(1)}{5-4cos(1)}$

$frac{1+2cos(1)}{5-4cos(1)}$

$frac{2+4cos(1)}{5-4cos(1)}$

Gabarito:

$frac{-1+2cos(1)}{5-4cos(1)}$

Resolução:

1. A razão da P.G. é:

$q=frac{frac{cos n + i . sin n}{2^{n}}}{frac{cosleft ( n-1 ight )+ i . sin left ( n-1 ight ))}{2^{n-1}}}$ $=frac{cos 1+ i . sin 1}{2}$

2. Já que $left | q ight |=frac{1}{2}< 1$ , a soma dos infinitos termos é:

$Sinfty = frac{frac{cos 1 + i . sin 1}{2}}{1-frac{cos 1 + i. sin 1}{2}}$ $=frac{cos1 +i. sin 1}{2-cos1-i.sin 1}$

$Leftrightarrow Sinfty = frac{left ( cos 1 + i.sin1 ight )left ( 2-cos1 + i . sin 1 ight )}{left ( 2-cos1 - i.sin1 ight )left ( 2-cos1+i.sin1 ight )}$ $= frac{cos1left ( 2-cos1 ight )-sin^{2}1+left ( k ight )i}{left ( 2-cos1 ight )^{2} + sin^{2}1}$

A parte real da soma é:

$frac{cos1left ( 2-cos1 ight )-sen^{2}1}{left ( 2-cos1 ight )^{2}+sin^{2}1}$ $=frac{2cos1-cos^{2}1-sin^{2}1}{4-4cos 1+cos^{2}1+sin^{2}1}$ $= frac{2cos1-1}{5-4cos1}$

Alternativa A

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