Questão 44

ITA 2020

Matemática

(ITA - 2020 - 1ª FASE)

Duas curvas planas $c_{1}$ e $c_{2}$ são definidas pelas equações

$c_{1} : 16x^2+9y^2-224x-72y+640=0$

$c_{2} : x^2+y^2+4x-10y+13=0$

Sejam P e Q os pontos de interseção de c₁ com o eixo x e R e S os pontos de interseção de c₂ com o eixo y

A área do quadrilátero convexo de vértices P, Q, R e S:

$15+7sqrt{3}$

$15-7sqrt{3}$

$15+14sqrt{3}$

$15-14sqrt{3}$

$25+10sqrt{3}$

Gabarito:

$15+14sqrt{3}$

Resolução:

1) A interseção de c₁ com o eixo x será quando y=0

$16x^2-224x+640=0$

1.1) Dividindo ambos os lados por 16:

$x^2-14x+40=0$

1.2) Desenvolvendo:

$x_{1,:2}=frac{-left(-14 ight)pm sqrt{left(-14 ight)^2-4cdot :1cdot :40}}{2cdot :1}$

$x_1=10,:x_2=4$

2) A interseção de c₂ com o eixo y será quando x=0:

$y^2-10y+13=0$

2.1) Desenvolvendo:

$y_{1,:2}=frac{-left(-10 ight)pm sqrt{left(-10 ight)^2-4cdot :1cdot :13}}{2cdot :1}$

$y_1=5+2sqrt{3},:y_2=5-2sqrt{3}$

3) Logo, os pontos P, Q, R e S serão:

4) Com isso, a área será a do triângulo ORQ subtraída pela área do triângulo OSP, sendo O a origem.

5) Logo,

$A=frac{10 cdot (5+2sqrt{3})}{2}-frac{4 cdot (5-2sqrt{3})}{2}$

$oxed{A=15+14sqrt{3}}$

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