Questão 45

ITA 2020

Matemática

(ITA - 2020 - 1ª FASE)

A cada aniversário, seu bolo tem uma quantidade de velas igual à sua idade. As velas são vendidas em pacotes com 12 unidades^.e todo ano é comprado apenas um novo pacote. As velas remanescentes são guardadas para os anos seguintes, desde o seu primeiro aniversário. Qual a sua idade, em anos, no primeiro ano em que as velas serão insuficientes?

Gabarito:

Resolução:

1) No primeiro ano:

Compra: 12

Gasta: 1

Resta: 11

2) No segundo ano:

Compra: 12

Gasta: 2

Resta: 11+12-2=21

3) No terceiro ano:

Compra: 12

Gasta: 3

Resta: 21+12-3=30

Seja $r_n$ o número de velas remanescentes no ano n, então:

$r_n=r_{n-1}+12-n, ; para ;ngeq 1;e;r_0=0$

5) Então, temos a seguinte soma telescópica:

$\ cancel{r_1}=r_0+12-1 \ cancel{r_2}=cancel{r_{1}}+12-2 \ vdots \ cancel{r_n-1}=cancel{r_{n-2}}+12-n \ underbrace{r_n=cancel{r_{n-1}}+12-n} \ r_n=12 cdot n-(1+2+3+cdots +n)$

$r_n=12n-frac{n(n+1)}{2}$

6) O número de velas será insuficiente se $r_n<0$ , logo

$12n-frac{n(n+1)}{2}<0$

$-n^2+23n<0$

7) Logo,

$n<0;ou;n>23$

8) Com isso, a resposta é 24 anos

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