Questão 53
ITA 2020
(ITA - 2020 - 1ª FASE) Considere as seguintes afirmações:
I. Todo poliedro formado por 16 faces quadrangulares possui exatamente 18 vértices e 32 arestas.
II. Em todo poliedro convexo que possui 10 faces e 16 arestas, a soma dos ângulos de todas as faces é igual a 2160°.
III. Existe um poliedro com 15 faces, 22 arestas e 9 vértices.
É(são) VERDADEIRA(S)
apenas I.
apenas II.
apenas III.
apenas I e II.
apenas II e III.
Gabarito:
apenas II.
Resolução:
I: Falso.
O poliedro ilustrado tem 16 vértices e 16 faces. As faces são: APOD; APMB; BMNC; CNOD; PKLM; MLIN; NIJO; OJKP; KFEJ; KFGL; LGHI; IHEJ; AFED; AFGB; BGHC e CHED.
Vale lembrar que o poliedro é formado por 4 troncos de pirâmide de bases quadrangulares.
II: Verdadeiro.
Como F = 10 e A = 16, tem-se:
Então, a soma dos ângulos de todas as faces é:
III: Falso.
O poliedro não pode ter apenas face triangulares. Considerando que o número de triângulos é , tem-se:
O poliedro não pode ter apenas face quadrangulares. Considerando que o número de quadriláteros é , tem-se:
O poliedro não pode ter apenas face triangulares e quadrangulares. Considerando que o número de triângulos é e o de quadriláteros é
, tem-se:
Para fechar este poliedro, poderiam ser utilizadas:
a. 5 faces triangulares —> o poliedro teria 6 vértices.
b. 5 faces triangulares e uma face pentagonal —> o poliedro teria 10 vértices.
c. 5 faces quadrangulares e 5 faces triangulares —> o poliedro teria 11 vértices.
Alternativa B.