Questão 47

ITA 2020

Matemática

(ITA - 2020 - 1ª FASE)

Seja a um número real satisfazendo $0 < a < frac{pi }{2}$ . Então, a soma de todos os valores de $x in [0,2pi]$ que satisfazem a equação

$cos(x) sen(a+x)=sen(a)$

é igual a

$5pi +2a$

$5pi+a$

$5pi$

$5pi-a$

$5pi - 2a$

Gabarito:

$5pi - 2a$

Resolução:

cos x . sen (a+x) = sen a

cos x . (sen a . cos x + sen x . cos a) = sen a

cos²x . sen a + cos x . sen x . cos a = sen a

(1 - sen²x) . sen a + cos x . sen x . cos a = sen a

sen a - sen²x . sen a + cos x . sen x. cos a = sen a

sen x . (- sen x . sen a + cos x . cos a) = 0

sen x . cos (x+a) = 0

Desse modo:

sen x = 0

x = o / x = π / x = 2π (porque x $epsilon$ [0; 2π]

cos (x + a) = 0

x + a = $-frac{Pi }{2}$ -> x = $-frac{Pi }{2}$ - a

Sendo assim, a soma dos valores de x é:

0 + π + 2π + $frac{Pi }{2}$ - a + $-frac{3Pi }{2}$ - a = 5π - 2a

Gabarito: alternativa e)

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