Questão 48

ITA 2020

Matemática

(ITA - 2020 - 1ª FASE)

Considere o polinômio p(x) = x³ - mx² + x + 5 + n, sendo m, n números reais fixados. Sabe-se que toda raiz z = a + bi, com a, $b in mathbb{R}$ , da equação p(z) = 0 satisfaz a igualdade a = mb² + nb -1. Então, a soma dos quadrados das raízes de p(z) = 0é igual a

Gabarito:

Resolução:

Devido ao fato de uma das raízes ser real, então $b = 0$ para esta raiz e $a = -1$ .

As outras raízes são $a + bi$ e $a - bi$ , com $b eq 0$ . Assim:

$left{egin{matrix} a = mb^{2}+nb -1 \ a = mleft ( -b ight )^{2}+nleft ( -b ight )-1 end{matrix} ight.$

Então $mb^{2}+nb-1=mb^{2}-nb-1$

$Rightarrow 2nb=0$

$Rightarrow b=0$ $ou$ $n=0$

$Rightarrow n=0$

Se $n=0$ e $-1$ é raiz:

$left ( -1 ight )^{3}-mleft ( -1 ight )^{2}-1+5+0=0$

$Rightarrow -1-m-1+5=0$

$Rightarrow m=3$

Segundo as relações de Girard:

$left{egin{matrix} x_{1}+x_{2}+x_{3}=m=3\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=1\x_{1}.x_{2}.x _{3}=-5 end{matrix} ight.$

A primeira equação elevada ao quadrado:

$left ( x_{1}+x_{2}+x_{3} ight )^{2}=9$

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2.left ( x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3} ight )=9$

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2.1=9$

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=7$

Alternativa B

Questões relacionadas

Questão 41

(ITA - 2020 - 1ª FASE) Sejam e números reais tais que e Então o produto de é igual a

Ver questão

Questão 42

(ITA - 2020 - 1 FASE) Sejam a, b e c números reais, , tais que a2 + b2 = c2. Se a, b e c formam, nessa ordem de uma progressão geométrica de razão k, então o p...

Ver questão

Questão 43

(ITA - 2020 - 1ª FASE) A parte real da soma infinita da progressão geométrica cujo termo geral an é dado por é igual a

Ver questão

Questão 44

(ITA - 2020 - 1ª FASE) Duas curvas planas e são definidas pelas equações Sejam P e Q os pontos de interseção de c1 com o eixo x e R e S o...

Ver questão