Questão 52

ITA 2020

Matemática

(ITA - 2020 - 1ª FASE)

Dado $a epsilon mathbb{R}$ , defina $p=a+a^2$ e $q=a+a^3$ e considere as seguintes afirmações:

I. se $p$ ou $q$ é irracional, então $a$ é irracional.

II. se $p$ e $q$ são racionais, então $a$ é racional

II. se $q$ é irracional, então $p$ é irracional.

É(são) VERDADEIRA(S)

apenas I.

apenas II.

apenas I e II.

apenas I e III.

todas.

Gabarito:

apenas I e II.

Resolução:

I. Afirmativa verdadeira.

Se a for racional, então $a=frac{x}{y}$ , com x e y inteiros.

Assim,

$p=a+a^{2}=frac{x}{y}+frac{x^{2}}{y^{2}}=frac{xy+x^{2}}{y^{2}}in mathbb{Q}$

$q=a+a^{3}=frac{x}{y}+frac{x^{3}}{y^{3}}=frac{xy^{2}+x^{3}}{y^{3}}in mathbb{Q}$

II. Afirmativa verdadeira.

Se $a=frac{-1+sqrt{5}}{2}$ (irracional), temos:

$q=a+a^{3}=a.left ( 1+a^{2} ight )=$

$=left ( frac{-1+sqrt{5}}{2} ight ).left ( 1+left ( frac{-1+sqrt{5}}{2}^{} ight ) ^{2} ight )=left ( frac{-1+sqrt{5}}{2} ight ).left ( frac{10-2sqrt{5}}{4} ight )=$

$=frac{-10+2sqrt{5}+10sqrt{5}-10}{8}=frac{12sqrt{5}-20}{8}=frac{3sqrt{5}-5}{2}in mathbb{R}-mathbb{Q}$

III. Afirmativa falsa.

A partir do item anterior, em que $a=frac{-1+sqrt{5}}{2}$ (irracional), temos que q é irracional e p é racional, porque: $p=a+a^{2}=a.left ( 1+a ight )=left ( frac{-1+sqrt{5}}{2} ight ).left ( frac{1+sqrt{5}}{2} ight )=1in mathbb{Q}$

Alternativa C.

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