Questão 1

ITA 2020

Matemática

(ITA - 2020 - 2ª FASE)

Seja $lambda$ a circunferência que passa pelos pontos P = (1,1), Q = (13,1) e R(7,9). Determine:

a) A equação de $lambda$ .

b) Os vértices do quadrado ABCD circunscrito a $lambda$ , sabendo que R é o ponto médio de $overline{AB}$ .

Gabarito:

Resolução:

1) Veja que R já está sobre a mediatriz de PQ: x=7.

2) Portanto, o centro O será da forma (7, y₀), sabendo que |PO|=|RO|

3) Logo

$sqrt{(7-1)^2+(y_0-1)^2}=9-y_0$

4) Desenvolvendo:

$36+(y_0-1)^2=(9-y_0)^2$

$y_0^2-2y_0+37=81-18y_0+y_0^2$

$y_0=frac{11}{4}$

a) Equação de $lambda$ :

$(x-7)^2+(y-frac{11}{4})^2=(9-frac{11}{4})^2$

$(x-7)^2+(y-frac{11}{4})^2=(frac{25}{4})^2=r^2$

$\ A=(x_o-r, y_0+r)=(frac{3}{4},9) \ B=(x_o+r, y_0+r)=(frac{53}{4},9) \ C=(x_o+r, y_0-r)=(frac{53}{4},-frac{7}{2}) \ D=(x_o-r, y_0-r)=(frac{3}{4},-frac{7}{2})$

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