Questão 7

ITA 2020

Matemática

(ITA - 2020 - 2ª FASE)

Seja H o hexágono no plano de Argand-Gauss cujos vértices são as raízes do polinômio $p(x) = (x-sqrt3)^6 +64$ . Determine $z in mathbb{C}$ sabendo que o conjunto $M = left{ zx in mathbb{C} : x in H ight}$ é o hexágono que possui $v_1 = -1 +sqrt3i$ , $v_2 = 1 -sqrt3i$ e $v_3 = 5 -sqrt3i$ como três vértices consecutivos.

Gabarito:

Resolução:

1) Inicialmente temos que:

$p(x) = (x-sqrt3)^6 +64$ ;

2) Devemos determinar o conjunto H:

PS: Lembrando que o conjunto H são aqueles que são as raízes do polinômio.

$\ h in mathbb{C}; h in H Leftrightarrow \ \ (h-sqrt{3})^6+64=0 Rightarrow \ \ (h-sqrt{3})^6=-64$

3) Desenvolvendo:

$\ (h-sqrt{3})^6=2^6 cdot mathrm{cis pi} Rightarrow \ \ h-sqrt{3}=sqrt[6]{2^6 cdot mathrm{cis pi}}$

$h=sqrt{3}+2 cdot mathrm{cis left (frac{2kpi}{6} +frac{pi}{6} ight )}$

Isso resulta em um hexágono da seguinte forma:

4) Com isso, podemos chegar a conclusão de outros valores de x:

$x_1=sqrt{3}+2 cdot mathrm{cis left ( frac{2 cdot 2pi}{6}+frac{pi}{6} ight )}=sqrt{3}+mathrm{2 cdot cisleft ( frac{5pi}{6} ight )}=i$

$x_2=sqrt{3}+2 cdot mathrm{cis left ( frac{2 cdot 3pi}{6}+frac{pi}{6} ight )}=sqrt{3}+mathrm{2 cdot cisleft ( frac{7pi}{6} ight )}=-i$

5) Analisando o conjunto M:

$M = left{ zx in mathbb{C} : x in H ight}$ , $v_1 = -1 +sqrt3i$ , $v_2 = 1 -sqrt3i$ e $v_3 = 5 -sqrt3i$

6) Observe que os vértices $v_1 ; e ; v_2$ são tais que $v_1 =- v_2$ . Logo, os vértices de H devem ser formados de forma que $x_1 =-x_2$ , com $x_1 ,x_2 in H$ . Observe que isso ocorre com $x_1 =i$ e $x_2 =-i$ .

7) Portanto:

$z cdot x_1 = -1+sqrt{3} Rightarrow z cdot mathrm{cis frac{pi}{2}} = 2 cdot mathrm{cis left ( frac{2pi}{3} ight )}$

$oxed{z = 2 cdotmathrm{ cis frac{pi}{6}}}$

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