Questão 4

ITA 2020

Matemática

(ITA - 2020 - 2ª FASE)

Sejam a e b dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números reais $k$ para os quais a reta $y=kx$ intersecta a parábola $y=x^{2}+ax+b$ é igual a $(-propto ,2]cup [6,+propto )$ , determine os número a e b.

Gabarito:

Resolução:

1) Temos que:

$left{egin{matrix} y=kx \ y=x^2+ax+1 end{matrix} ight. Rightarrow x^2+(a-k)x+b=0$

2) Logo,

$Delta = (a-k)^2-4b geq 0 quad forall k in (-infty , 2] cup [6, +infty)$

3) Com isso, abrindo a expressão:

$a^2-2ak+k^2-4b geq 0$

4) Organizando:

$k^2-2ak+a^2-4b geq 0$

5) Interpretando a inequação fornecida em 4 juntamente com o intervalo $(-infty , 2] cup [6, +infty)$ , temos que para k=2 e para k=6 temos que $(a-k)^2-4b$ será igual a 0.

6) Logo,

$left{egin{matrix} (a-2)^2-4b=0 \ (a-6)^2-4b=0 end{matrix} ight. Rightarrow (a-2)^2=(a-6)^2$

7) Desenvolvendo:

$a^2-4a+4=a^2-12a+36$

$a=4$

8) Com isso, podemos encontrar o valor de b:

$(4-2)^2-4b=0$

$b=1$

Questões relacionadas

Questão 41

(ITA - 2020 - 1ª FASE) Sejam e números reais tais que e Então o produto de é igual a

Ver questão

Questão 42

(ITA - 2020 - 1 FASE) Sejam a, b e c números reais, , tais que a2 + b2 = c2. Se a, b e c formam, nessa ordem de uma progressão geométrica de razão k, então o p...

Ver questão

Questão 43

(ITA - 2020 - 1ª FASE) A parte real da soma infinita da progressão geométrica cujo termo geral an é dado por é igual a

Ver questão

Questão 44

(ITA - 2020 - 1ª FASE) Duas curvas planas e são definidas pelas equações Sejam P e Q os pontos de interseção de c1 com o eixo x e R e S o...

Ver questão