Questão 10

ITA 2020

Matemática

(ITA - 2020 - 2ª FASE)

Considere uma pirâmide reta $P$ cuja base é um hexágono regular de lado $l$ . As faces laterais dessa pirâmide formam um ângulo diedro de 75º com a base da própria pirâmide.

Sabendo que $P$ está inscrito em uma esfera, determine o raio dessa esfera.

Gabarito:

Resolução:

1) Consideremos o plano $mathrm{VAD}$ que contém os raios $mathrm{overline{OV}}, mathrm{overline{OA}};e;mathrm{overline{OD}}$ de medida $R$ . Então $R$ é o raio da circunferência circunscrita ao $Delta VAD$ .

2) Note que $mathrm{overline{VG} ; (VG=H)}$ é a altura de $Delta VAD$ .

3) No $Delta GOD$ , temos:

$R^2=(H-R)^2+l^2$

$cancel{R^2}=H^2-2HR+cancel{R^2}+l^2$

$oxed{2HR=H^2+l^2};mathrm{(I)}$

4) Precisamos determinar $H$ em função de $l$ :

5) O $Delta ABG$ é equilátero de lado $l$ .

6) Então o apótema $overline{MG}$ do hexágono da base mede $MG=frac{lsqrt{3}}{2}$

7) Como $mathrm{Vhat{M}G=75^circ}$ e o $Delta AMG$ é retângulo, temos:

$an 75^circ = frac{H}{frac{lsqrt{3}}{2}}=2+sqrt{3}$

8) Desenvolvendo:

$H=lsqrt{3}+frac{3l}{2}$

9) Logo,

$oxed{H=frac{l}{2}(2sqrt{3}+3)} ; mathrm{(II)}$

$oxed{H^2=frac{l^2}{4}(21+12sqrt{3})} ; mathrm{(III)}$

10) Substituindo $mathrm{(II);e;(III);em;(I)}$ temos:

$2 cdot frac{l}{2}(2sqrt{3}+3) cdot R=frac{l^2}{4}(21+12sqrt{3})+l^2$

11) Organizando:

$l cdot (2sqrt{3}+3) cdot R=l^2 cdot frac{25+12sqrt{3}}{4}$

12) Simplificando e isolando R:

$oxed{R=l cdot frac{14sqrt{3}-3}{12}}$

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