Questão 3

ITA 2020

Matemática

[Resolução ITA 2020 2ª fase 3ª questão]

1) Considerando p=a^3+b^3 para ageq 1 ;e;bgeq 1

2) Logo, p=(a+b)(a^2-ab+b^2)

3) Como ageq 1 ;e;bgeq 1 , temos que a+bgeq 2 .

4) Logo, como não existem números primos com mais de um divisor, podemos afirmar que a^2-ab+b^2=1

5) Mas, pela desigualdade das médias, podemos dizer que a^2+b^2geq 2ab Rightarrow a^2-ab+b^2geq ab

6) Logo, 1geq ab .

7) Com isso, a=1 e b=1

8) Logo, o único número primo é o 2.

Gabarito:

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