Questão 38

ITA 2023

Matemática

(ITA - 2023 - 1ª FASE)

Sejam $z;in;mathbb{C}$ e $f(z)=z^{2}+i$ . Para cada $ninmathbb{R}$ , definimos $f^{(1)}(z)=f(z)$ e $f^{(n)}(z)=f(f^{(n-1)}(z))$ . Então, $f^{(2023)}(0)$ é

$1 - i$ .

$i-1.$

$-i-i$ .

$i$ .

$-i$ .

Gabarito:

$-i$ .

Resolução:

$f^1(0)=f(0)=0^2+i=i$

$f^2(0)=f(i)=i^2+i=-1+i$

$f^3(0)=f(-1+i)=(-1+i)^2+i=1-2i+i^2+i=-i$

$f^4(0)=-1+i$

...

Desenvolvendo os termos, percebemos que $f^3(0)=f^5(0)=...f^{2023}(0)=-i$ .

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