Questão 39

ITA 2023

Matemática

(ITA - 2023 - 1ª FASE)

Considere as afirmações:

I. Se P é um polígono convexo de n lados iguais, então P é um polígono regular.

II. Seja P um polígono convexo de 6 lados. Se seus ângulos internos, listados em ordem crescente, formam uma progressão aritmética, então a soma do menor e do maior ângulo interno de P é 240°.

III. Existe um polígono convexo de 100 lados cujos ângulos internos, listados em ordem crescente, formam uma progressão aritmética de razão r = 1°.

É (são) sempre verdadeira(s):

apenas I.

apenas II.

apenas III.

apenas II e III.

nenhuma.

Gabarito:

apenas II.

Resolução:

I) (F) Somente se os ângulos fossem iguais.

II) (V) Encontramos:

$S_i=(6-2).180^o=eta+(eta+ heta)+(eta+2 heta)+...+(eta+5 heta)$

$(6eta+15 heta=720^o) div3 ightarrow (2eta+5 heta=240^o) ightarrow (eta+(eta+5 heta))=240^o$

III) (F) Se seguem uma ordem crescente de razão $r=1^o$ , temos a seguinte PA:

$(alpha,alpha+1^o,alpha+2^o,...,alpha+98^o,alpha+99^o)$

Assim sendo, qualquer ângulo deve ser menor que 180º, portanto,

$alpha+99^o< 180^o ightarrow alpha<81^o$

$(alpha+99^o)+alpha< 180^o+81^o ightarrow [(alpha+99^o)+alpha]<261^o$ (*)

Como os ângulos do polígono se qualificam como uma PA, fazendo a soma dos termos, temos:

$[(alpha+99^o)+alpha].frac{100}{2}=S_i$

Sendo $S_i$ a soma do ângulos internos de um polígono, que se dá por: $S_i=(100-2).180^o$

Daí,

$(100-2).180^o=98.180^o=50.(2alpha+99^o)$

$(2alpha+99^o)=352,8^o$ , o que contraria nossa informação (*).

Portanto, falso.

Questão 39

ITA 2023

Questões relacionadas

Questão 37

Questão 38

Questão 40

Questão 41