Questão 7940

MACKENZIE 1974

Matemática

(MACK - 74) As coordenadas cartesianas de um ponto M = (x, y) são definidas em função do tempo, na forma

$left{egin{matrix} x = acosfrac{pi }{2}t, a >0\ y = a cos pi t end{matrix} ight.$

A trajetória descrita por M é:

um segmento de reta

uma circunferência

um arco de circunferência

uma parábola

um arco de parábola

Gabarito:

um arco de parábola

Resolução:

Seja

$frac{pi t}{2}=alpha$

Pelo cosseno do arco duplo,

$cos (2 alpha)=2cos ^2(alpha)-1$

Do sistema dado,

$egin{cases} & frac{x}{a}= cos(alpha)\ & frac{y}{a}= cos(2 alpha) end{cases}$

Aplicando o sistema na relação temos:

$frac{y}{a}= 2left(frac{x}{a} ight )^2-1Rightarrow y=frac{2x^2}{a} -a$

Logo, temos a equação de uma parábola.

Mas, lembrando que a função seno e a função cosseno só assumem valores entre -1 e 1, temos que:

$egin{cases} & -1leq frac{x}{a}leq1 \ & -1leqfrac{y}{a}leq1 end{cases} ightarrow egin{cases} & -aleq xleq a \ & -aleq yleq a end{cases}$

Ou seja, teremos apenas uma parte da parábola. Portanto, temos um arco de parábola.

PS: Para melhor visualização.

Considerando que a=1 -> $y=2x^2 -1$

Devido as restrições:

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