(MACK - 74) São dados três pares de equações:
I) x + y = 0 e x2 + 2xy + y2 = 0
II) x - 2y = 0 e x3 - 2x2y + xy2 - 2y3 = 0
III) x2 - y2 = 0 e x4 - y4 = 0
A afirmação: "as duas equações do par têm o mesmo gráfico" é verdadeira para:
I e II somente
I e III somente
II e III somente
I, II e III
nenhum par
Gabarito:
I, II e III
I) verdadeira
a segunda expressão pode ser fatorada como (x+y)²=0 e como sabemos, um número real ao quadrado será zero se, e somente se, também for zero
=> x+y=0
II) verdadeira
x³-2x²y+xy²-2y³ = 0
(x²+y²)(x-2y)=0
temos então duas possibilidades:
x²+y²=0, que ocorre se, e somente se, x=0 e y=0, sendo portanto um único ponto; ou
x-2y=0 que é uma reta contendo o ponto (0,0).
III) verdadeira
fatorando: x4-y4=(x²+y²)(x²-y²)=0
novamente x²+y²=0 leva a somente um ponto;
x²-y² = (x+y)(x-y) = 0 é um par de retas que contém o ponto (0,0).
Observação: foi necessário verificar se o ponto (0,0) estava presente na curva definida pelo segundo fator, pois caso contrário não seria verdade o fato de ambas representarem o mesmo gráfico, caso ele não estivesse os gráficos seriam iguais, exceto por este ponto.