Questão 20652

MACKENZIE 1996

Matemática

(Mackenzie 1996) Em [0, 2π], o número de soluções reais de f(x) = sen2x é:

Gabarito:

Resolução:

$egin{vmatrix} cos x &sin x &sin4x \ sin x & cos x &sin 3x \ 0 &0 & sin 2x end{vmatrix}=sin 2x$

Utilizando Laplace:

$\Det(f(x))=a_{3,1}cdot A_{3,1}+a_{3,2}cdot A_{3,2}+a_{3,3}cdot A_{3,3}\\\Mas;;a_{3,1}=a_{3,2}=0$

$\ herefore D(f(x))=sin 2xcdot (-1)^{3+3}cdot egin{vmatrix} cos x &sin x \ sin x & cos x end{vmatrix}=sin 2xcdot (cos^2x-sin^2x)=\\=sin 2xcdot cos 2x$

Mas D(f(x)) = sin 2x

$\sin 2xcdot cos 2x=sin 2x\sin 2x(cos 2x-1)=0\\\sin 2x=0\2x=kcdot pi\x=frac{kcdot pi}{2};;; herefore x=$ { ${0,frac{pi}{2},pi,frac{3pi}{2},2pi}$ }

$cos 2x =1\\2x=2kpi\x=kpi\ herefore x=$ { $0,pi,2pi$ }

Portanto, há cinco soluções

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