Questão 7315

MACKENZIE 1996

Matemática

(MACKENZIE - 1996) O número de soluções reais da equação é:

A

0.

B

1.

C

2.

D

3.

E

maior que 3.

Gabarito:

3.

Resolução:

Considere o intervalo no qual $0leqslant xleqslant 1$ :

$1-x^2+2x=frac{x+1}{x-1}$

$2x-x^2=frac{x+1}{x-1}-1$

$x(2-x)=frac{x+1}{x-1}-frac{x-1}{x-1}$

$x(2-x)=frac{x+1-x+1}{x-1}$

$x(2-x)= frac{2}{x-1}$

$x(2-x)(x-1)= 2$

Lembrando o intervalo de x concluímos que $x(2-x)(x-1)$ é negativo e portanto não há soluções nesse intervalo.

Considere o intervalo no qual $-1leqslant x leqslant 0$ :

$1-x^2+2x=frac{-x+1}{x-1}$

$1-x^2+2x=-1$

$x^2-2x-2=0$

Resultando em raízes $x=1pm sqrt{3}$ . A única raiz no intervalo é $oxed{1-sqrt{3}}$ .

Considere o intervalo no qual $xgeqslant 1$ :

$x^2-1+2x=frac{x+1}{x-1}$

$x^2+2x=frac{2x}{x-1}$

$x+2=frac{2}{x-1}$

$x^2+x-4=0$

Resultando em raízes $x=frac{-1pm sqrt{17}}{2}$ . A única raiz no intervalo é $oxed{x=frac{-1+ sqrt{17}}{2}}$ .

Considere o último intervalo para completarmos o domínio dos reais (x<-1) :

$x^2-1+2x=frac{-x+1}{x-1}$

$x^2-1+2x=-1$

$oxed{x=-2}$

Portanto é possível encontrarmos 3 raízes reais que satisfaçam a equação.

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