Questão 7581

Gabarito:

a + b = 0.

Resolução:

Só faz sentido falar de sinal positivo ou negativo para um número complexo se ele for real, pois um número complexo imaginário é um ponto no plano Argand-Gauss.

Sendo assim, a parte imaginária de z = (a + bi)⁴ deve ser nula e a parte real deve ser menor que zero.

Temos então, que:

z = (a + bi)⁴ = (a⁴ + 4a³bi - 6a²b² - 4ab³i + b⁴)

Desse modo, temos que:

a⁴ - 6a²b² + b⁴ < 0 (I)

e

4a³b - 4ab³ = 0 (II)

De (II), temos:

ab(a² - b²) = 0

Se a = 0, então b = 0 e vice-versa. Sendo assim, a ou b não podem ser iguais a zero, pois assim teríamos que z = 0.

Logo, para que (II) seja satisfeita, temos que a² = b² (III).

Substituindo a² = b² em (I):

a⁴ - 6a⁴ + a⁴ < 0, então

-4a⁴ < 0

Logo, a é qualquer real diferente de zero.

Assim, a e b são reais não nulos.

De (III), temos que a² = b², então a = b ou a = -b, sendo assim, podemos ter:

a - b = 0 

ou

a + b = 0