Questão 7392

MACKENZIE 1997

Matemática

(MACKENZIE - 1997)

$frac{(x - y)}{z} = frac{(x + z)}{y} = frac{(z - y)}{z} = k$

Supondo k real não nulo, então o sistema anterior tem solução única:

sempre.

somente se k ≤ -1.

somente se k ≥ -1.

somente se k ≠ -1.

somente se k = -1 ou k = 1.

Gabarito:

somente se k ≠ -1.

Resolução:

$\\ (i);;frac{x-y}{z}=k;;Rightarrow;;x-y-kz=0;;;(1)\\ (ii);;frac{x+z}{y}=k;;Rightarrow;;x-ky+z=0;;;(2)\\ (iii);;frac{z-y}{x}=k;;Rightarrow;;kx+y-z=0;;;(3)\\ ext{De (1), (2) e (3), segue que:} \\ left{egin{matrix} x-y-kz=0\ x-ky+z=0\ kx+y-z=0 end{matrix} ight.;;Rightarrow;; ext{Para a solução única, devemos ter:} \\$

$\\ egin{vmatrix} 1 & -1 & -k\ 1 & -k & 1\ k & 1 & -1 end{vmatrix} eq0;;Rightarrow;;k^3+k+2 eq0;;Rightarrow;;(k^3+1)+(k+1) eq0;;Rightarrow;;(k+1)(k^2-k+1)+(k+1) eq0;;Rightarrow;;(k+1)(k^2-k+2) eq0;; herefore;;k+1 eq0\\ herefore;;oxed{k eq-1}$

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