Questão 6388

MACKENZIE 1998

Matemática

(Mackenzie 1998) Se k e p são números reais positivos tais que o conjunto imagem da função f(x) = 2k + p.cos(px + k) é [-2, 8], então o período de f(x) é:

π/7

2π/7

2π/3

π/5

2π/5

Gabarito:

2π/5

Resolução:

$\ extrm{O valor máximo de cos x é 1 e quando cosseno é máximo a função também terá valor máximo:}\\8 =2k+p;;;;;;(i)\\\ extrm{O valor mínimo de cos x é -1 e quando cosseno é mínimo a função também terá valor mínimo:}\\-2=2k-p;;;;;(ii)$

$\(i)+(ii):\\6=4k;;;;;; herefore k=frac{3}{2}\\\ extrm{Substituindo esse valor em }(i) extrm{:}\8=2cdot (frac{3}{2})+p;;;;;;;;;;; herefore p=5$

$\ullet ; extrm{O período T de uma função do tipo};cos (ax), extrm{com a }in mathbb{Z}; extrm{é dado por:}\\T=frac{2pi}{|a|}$

$\ extrm{o período da função dada é:}\\T=frac{2pi}{p}=frac{2pi}{5}$

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