Questão 7292

Gabarito:

50/3

Resolução:

Segue solução:

Uma possível maneira de resolver a questão é determinando as coordenadas dos vértices do triângulo ORV e aplicando a fórmula de área que é 1/2 de da matriz das coordendas do triângulo.

Para tanto, começaremos determinando as equações das retas que formam o triângulo OPR.

Para a reta crescente temos dois pares ordenados, (0,0) e (1,3),sendo assim:

y = ax + b

0 = a0 + b

b = 0, agora vamos determinar a

3 = 1a + 0 

a = 3.

Para determinar a equação da reta decrescente podemos utilizar um artifício que a figura nos dá: a perpendicularidade entre as duas retas. Isso significa que o coeficiente angular delas é inverso e oposto. Logo, considerando a segunda reta como y = cx + d, sabemos que c = -(a^-1), logo c = -1/3. Agora podemos utilizar o ponto em comum (1,3) para determinar a equação da reta decrescente:

y = -1/3x + d

3 = -1/3*1 + d

d = 3+1/3

d = 9/3 + 1/3

d = 10/3

Agora podemos facilmente descobrir os outros dois vértices do triângulo desejado.

y = -1/3x + 10/3

Vértice que corta o eixo y, x = 0, logo a coordenada será 10/3

vértice que corta o eixo x, y = 0, logo:

0 = -1x/3 + 10/3

x/3 = 10/3

x = 10

Temos então os seguintes pares ordenados para vértices do triângulo ORV

(0,0) (0,10/3) e (10,0)

1/2 do seu determinante será:

            0     0     1

1/2*     0  10/3   1

           10   0     1 

 = 1/2 *[ (0*10/3*1 + 0*1*10 + 1*0*0) - (1*10/3*10 + 1*0*0 + 1*0*0) = 

= 1/2* -100/3 = -50/3. Como uma área deve ser positiva, consideramos o módulo do valor encontrado.

É facil perceber também que o cálculo pela fórmula base*altura/2 também fica simplificado.

 10*10/3*2 = 50/3