Questão 12175

MAUA 1976

Matemática

(MAPOFEI-76) Simplifique a expressão abaixo e marque a alternativa que corresponde a essa simplificação

cos x

cos²x

sen x

sen²x

Gabarito: cos²x

Resolução:

$sin left(frac{9pi }{2} ight)-cosleft(x+frac{15pi }{2} ight):cdot sin left(7pi -x ight)$

1) Repare que $sin left(7pi -x ight)=sin left(x ight)$

1.1) $mathrm{Usar:a:seguinte:identidade}:quad sin left(s-t ight)=-cos left(s ight)sin left(t ight)+cos left(t ight)sin left(s ight)$

$sin left(7pi -x ight)=-cos left(7pi ight)sin left(x ight)+cos left(x ight)sin left(7pi ight)$

1.2) Como $cos left(7pi ight)=-1$ e $sin left(7pi ight)=0$ (Observe o círculo trigonométrico)

$sin left(7pi -x ight)=-left(-sin left(x ight) ight)+0=sin left(x ight)$

2) Repare que $cos left(x+frac{15pi }{2} ight)=sin left(x ight)$

2.1) $mathrm{Usar:a:seguinte:identidade}:quad cos left(s+t ight)=cos left(s ight)cos left(t ight)-sin left(s ight)sin left(t ight)$

$cos left(x+frac{15pi }{2} ight)=cos left(x ight)cos left(frac{15pi }{2} ight)-sin left(x ight)sin left(frac{15pi }{2} ight)$

2.2) Como $cos left(frac{15pi }{2} ight)=0$ e $sin left(frac{15pi }{2} ight)=-1$ :

$cos left(x+frac{15pi }{2} ight)=0-left(-sin left(x ight) ight)=sin left(x ight)$

3) Repare que $sin left(frac{9pi }{2} ight)=1$

3.1) $sin left(frac{9pi }{2} ight)=sin left(frac{pi }{2} ight)=1$

4) Logo, temos que $sin left(frac{9pi }{2} ight)-cosleft(x+frac{15pi }{2} ight):cdot sin left(7pi -x ight) = 1-sin ^2left(x ight)$

5) $mathrm{Usar:a:seguinte:identidade}:quad :1-sin ^2left(x ight)=cos ^2left(x ight)$ :

6) Logo, o resultado é $oxed{cos ^2left(x ight)}$

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