Questão 6455

PUC 1977

Matemática

(PUC - 1977) As curvas representativas das funções e :

têm por intersecção os pontos de abscissas $-frac{1}{2}$ e $frac{1}{2}$

têm por intersecção os pontos de abscissas -1 e $frac{1}{2}$

têm por intersecção os pontos de abscissas -1 e 1

têm por intersecção os pontos de abscissas $frac{1 + sqrt{5}}{2}$ e $frac{1 -sqrt{5}}{2}$

não se interceptam

Gabarito:

têm por intersecção os pontos de abscissas -1 e $frac{1}{2}$

Resolução:

Quando duas curvas se interceptam, elas têm um ponto em comum e as coordenadas desse ponto em comum satisfazem ambas as equações.

Ou seja, temos que as coordenada x_p e y_p obedecem a $y_{p}=x^{2}_{p}$ e a $2y_{p}=-x_{p}+1$ . Logo, temos o seguinte: $2y_{p}=2x_{p}^{2}=-x_{p}+1$ .

Pegando a parte somente de x_p, temos a seguinte equação do segundo grau: $2x_{p}^{2}+x_{p}-1=0$ . Para resolvê-la vamos achar o determinante dela: $Delta=1^{2}-4cdot2cdot(-1)=9$ . Logo as raízes dessa equação, que são os valores de x_p, são: $x_{p}=frac{-1pmsqrt{9}}{2cdot2}$ .

Encontramos dois valores diferentes para x_p, logo as curvas se interceptam em dois pontos: $x_{p_{1}}=frac{-1+sqrt{9}}{2cdot2}=frac{-1+3}{4}=frac{1}{2}$ , $y_{p_{1}}=-x_{p_{1}}+1=-frac{1}{2}+1=frac{1}{2}$ e $x_{p_{2}}=frac{-1-sqrt{9}}{2cdot2}=frac{-1-3}{4}=-1$ , $y_{p_{2}}=-x_{p_{2}}+1=-(-1)+1=2$ .