Questão 7133

UDESC 2012

Matemática

(Udesc 2012) Considere as matrizes e . Se I representa a matriz identidade de ordem dois, então o produto entre todos os valores de x ∈ R que satisfazem a equação é igual a

Gabarito:

Resolução:

1) Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet.

$mathrm{det}(A) cdot mathrm{det}(B)+mathrm{det}(B+I)=mathrm{det}(2B^t)$

2) Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kⁿ.

$mathrm{det}(A) cdot mathrm{det}(B)+mathrm{det}(B+I)=4 cdot mathrm{det}(B^t)$

3) O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (R^t).

$mathrm{det}(A) cdot mathrm{det}(B)+mathrm{det}(B+I)=4 cdot mathrm{det}(B)$

4) Calculando det(A)

$detegin{pmatrix} x+1 & x^2\ 2 & -x end{pmatrix}=left(x+1 ight)left(-x ight)-x^2cdot :2=-3x^2-x$

5) Calculando det(B)

$detegin{pmatrix} 3 & 2\ 1 & 1 end{pmatrix}=3cdot :1-2cdot :1=1$

6) Calculando det(B+I)

$detegin{pmatrix} 4 & 2\ 1 & 2 end{pmatrix}=4cdot :2-2cdot :1=6$

7) Substituindo:

$(-3x^2-x) cdot 1+6=4 cdot 1$

8) Desenvolvendo:

$-3x^2-x+2=0$

$x_{1,:2}=frac{-left(-1 ight)pm sqrt{left(-1 ight)^2-4left(-3 ight)2}}{2left(-3 ight)}$

$x_1=-1,:x_2=frac{2}{3}$

9) o produto entre todos os valores de x que satisfazem a equação é $-frac{2}{3}$

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