Questão 12480

UDESC 2013

Matemática

(Udesc 2013) A área delimitada por uma elipse cuja equação é é dada por A = abπ. Então, a área da região situada entre as elipses de equações 16x² + 25y² = 400 e 16x² + 9y² = 144 é:

12π u.a.

20π u.a.

8π u.a.

256π u.a.

π u.a.

Gabarito: 8π u.a.

Resolução:

As elipses dadas são:

16x² + 25y² = 400

16x² + 9y² = 144

Dividindo a primeira equação por 400 e a segunda por 144, temos:

x²/25 + y²/16 = 1

x²/9 + y²/16 = 1

Para a primeira elipse, temos a₁ = 5 e b₁ = 4.

Para a segunda, temos: a₂ = 3 e b₂ = 4

Vemos que ambas as elipses possuem o centro (0; 0), então, desenhando elas num plano cartesiano, temos:

A elipse azul é a primeira (eixo maior na horizontal) e a vermelha é a segunda (eixo maior na vertical).

Vemos que elas se interceptam nos pontos (0; 4) e (0; -4).

Logo, a área S entre as elipses é igual a área da elipse maior menos a da menor:

S = S₁ - S₂ = $pi$ *5*4 - $pi$ *3*4 = 8 $pi$ u.a.

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