Questão 76476

UECE 2019

Matemática

(Uece 2020) A função $f:R-left {-1 ight } ightarrow R-{1}$ , definida por $f(x)=frac{x}{1+x}$ é invertível. Considerando-se g sua inversa, o valor positivo de $k$ , para o qual $f(k)+g(k)=sqrt{3}$ , é igual a

$3sqrt{3}$

$2sqrt{3}$

$sqrt{3}$

$frac{sqrt{3}}{3}$

Gabarito:

$frac{sqrt{3}}{3}$

Resolução:

Calculando a inversa, temos:

$x = frac{y}{1+y} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow x+xy = y Leftrightarrow$

$Leftrightarrow x = y - xy Leftrightarrow$

$Leftrightarrow x = y(1 - x) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow y = frac{x}{1 - x}$

Com isso temos a nossa função g(x).

Calculando a soma dada no enunciado, teremos:

$f(k) + g(k) = sqrt{3}$

$frac{k}{1+k} + frac{k}{1-k} = sqrt{3} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow frac{k-k^2+k+k^2}{(1+k)(1-k)} = sqrt{3} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow frac{2k}{1-k^2} = sqrt{3} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 2k = sqrt{3} - sqrt{3}k^2 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow sqrt{3}k^2 + 2k -sqrt{3} = 0$

Resolvendo por Bhaskara, temos que discriminante será:

$Delta = 2^2 - 4sqrt{3}cdot(-sqrt{3}) = 16$

Como queremos apenas a raiz positiva, teremos:

$k = frac{-2pm4}{2sqrt{3}} Rightarrow k = frac{-2+4}{2sqrt{3}} = frac{1}{sqrt{3}} = frac{sqrt{3}}{3}$

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