Questão 12349

UERJ 2017

Matemática

(UERJ - 2017) Considere o gráfico a seguir, em que a área S é limitada pelos eixos coordenados, pela reta r, que passa por A(0, 4) e B(2, 0), e pela reta perpendicular ao eixo x no ponto P(x_o,0), sendo 0 ≤ x_o ≤ 2.

Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices C(0, 0), A e B, o valor de x_o deve ser igual a:

Gabarito:

Resolução:

Nesta figura, a área do triângulo é constante, pois sempre tem base e altura relativa igual a 4 e 2, assim, sua área é:

$frac{4 cdot 2 }{2} = 4$

Enquanto o trapézio, cuja área podemos calcular utilizando a base maior, base menor e altura, não é constante, pois sua base menor e altura variam.

A medida y da base menor existe na reta r. Por isto, podemos encontrar uma equação para esta medida encontrando a equação da reta r.

Por se tratar de uma reta, sabemos que r tem equação da forma:

$y = ax + b$

Substituindo nos pontos conhecidos:

$4 = a cdot0 + b$

Dai, concluimos que $b = 4$ .

$0 = a cdot 2 + b$

Substituindo b:

$0 = 2a + 4$

$-4 = 2a$

$a = -2$

Assim, podemos ver que a equação da reta é:

$y = -2x + 4$

Logo, o tamanho da base menor, para $x_o$ será:

$-2x_0 + 4$

E a altura do trapézio é justamente $x_0$ .

Assim, queremos que a área do trapézio seja metade da área do triângulo, ou seja, metade de 4 que é 2. Equacionando a área do trapézio:

$frac{(4 -2x_0 + 4) cdot x_0}{2} = 2$

${( -2x_0 + 8) cdot x_0} = 4$

$-2x_0 ^2 + 8x_0 = 4$

$-2x_0 ^2 + 8x_0 -4= 0$

Resolvendo a equação de segundo grau:

$Delta = 8^2 - 4 cdot (-2) cdot (-4)$

$Delta = 64 - 32 = 32$

$sqrt{Delta} = sqrt{32} = 4sqrt{2}$

$x_0 = frac{-8 + 4sqrt{2}}{-4} = 2-sqrt{2}$

$x_0 = frac{-8 - 4sqrt{2}}{-4} = 2+sqrt{2}$

Podemos ver que a segunda raiz é maior do que 2, o que está fora das condições do enunciado, ou seja, apenas $2-sqrt{2}$ é solução.

Alternativa A.

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