Questão 6261

UFMG 2006

Matemática

(UFMG - 2006) Sejam x e y números reais não-nulos tais que $(frac{x}{y^2}) + (frac{y^2}{x}) = -2$ . Então, é CORRETO afirmar que

x² - y = 0.

x + y² = 0.

x² + y = 0.

x - y² = 0.

Gabarito:

x + y² = 0.

Resolução:

$frac{x}{y^2} + frac{y^2}{x} = -2$

Multiplicando tudo por xy², temos:

$xy^2 cdot left (frac{x}{y^2} + frac{y^2}{x} ight ) = xy^2 cdot (-2)$

$xy^2 cdot frac{x}{y^2} + xy^2 cdot frac{y^2}{x} = -2xy^2$

Simplificando:

$x{color{Red} cancel{y^2}} cdot frac{x}{{color{Red} cancel{y^2}}} + {color{Red} cancel{x}}y^2 cdot frac{y^2}{{color{Red} cancel{x}}} = -2xy^2$

Assim, temos:

$x^2 + (y^2)^2 = -2xy^2$

Veja que temos um quadrado perfeito desenvolvido (produto notável muito conhecido: (a + b)² = a² + b² + 2ab).

Assim, temos que:

x² + (y²)² + 2xy² = (x + y²)² = 0

Logo, x + y² = 0

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