Questão 53642

UFPR 2015

Matemática

(UFPR - 2015 - 2ª - FASE)

Considere a circunferência $C: x^{2}+y^{2}-4x-6y-12 = 0$ e a reta r : y = 2x +1, sendo k uma constante.

a) Calcule as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência C.

b) Calcule as coordenadas dos pontos de intersecção entre a circunferência C e a reta r.

Gabarito:

Resolução:

a) Completando quadrados na equação da circunferência, temos:

$x^{2}+y^{2}-4x-6y-12 = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow x^{2} - 4x + 4 - 4 +y^{2}-6y + 9 - 9 -12 = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (x-2)^2 - 4 +(y-3)^{2} - 9 -12 = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (x-2)^2 +(y-3)^{2} -25 = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (x-2)^2 +(y-3)^{2} = 5^2$

Com a equação reduzida da circunferência, conseguimos determinar o centro C (2, 3) e o raio r = 5 da circunferência.

b) Substituindo $y = 2x+1$ na equação $x^{2}+y^{2}-4x-6y-12 = 0$ , obtemos:

$x^{2}+(2x+1)^{2}-4x-6(2x+1)-12 = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow x^{2}+4x^2+4x+1-4x-12x-6-12 = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 5x^2-12x-17 = 0$

Resolvendo essa equação de segundo grau, temos:

$5x^2-12x-17 = 0 Leftrightarrow (5x-17)(x+1) = 0$

Portanto, as raízes serão $x = -1$ ou $x = frac{17}{5}$ .

Substituindo na equação da reta, obtemos que:

Quando $x = -1$ , teremos $y = -1$ e quando $x = frac{17}{5}$ , teremos $y = frac{39}{5}$

Com isso concluímos que os pontos de interseção, serão $(-1, -1)$ e $left ( frac{17}{5}, frac{39}{5} ight )$ .

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