Questão 53645

UFPR 2015

Matemática

(UFPR - 2015 - 2ª FASE)

Um modelo matemático prevê que o custo c(x), em reais, para se produzir x unidades de um produto é dado pela expressão:

$cleft(x ight ) = sqrt{0,25.x + 1.5}$

a) Calcule o número de unidades que podem ser produzidas ao custo de R$ 10,00.

b) Esse modelo fornece dados muito próximos da realidade quando $3 leq cleft(x ight ) leq 12$ . Calcule os valores de x para que essa desigualdade seja satisfeita.

Gabarito:

Resolução:

a) Substituindo na expressão, obtemos:

$10 = sqrt{0,25cdot x+1,5} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 10^2 = left (sqrt{0,25cdot x+1,5} ight )^2 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 100 = 0,25cdot x+1,5 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 98,5 = frac{x}{4} Leftrightarrow x = 394$

b) Trabalhando separadamente com as inequações, temos:

$3 leq c(x)$

$3 leq sqrt{0,25cdot x+1,5} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 3^2 leq left (sqrt{0,25cdot x+1,5} ight )^2 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 9 leq 0,25cdot x+1,5 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 7,5 leq frac{x}{4} Leftrightarrow 30leq x$

$c(x) leq 12$

$sqrt{0,25cdot x+1,5} leq 12Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left (sqrt{0,25cdot x+1,5} ight )^2 leq 12^2 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 0,25cdot x+1,5 leq 144 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow frac{x}{4} leq 142,5 Leftrightarrow x leq 570$

Dessa forma, o conjunto solução, que satisfazem essas desigualdades será $S = left {30 leq x leq 570 ext{; } x in mathbb{N} ight }$ .

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