Questão 53650

UFPR 2015

Matemática

(UFPR - 2015 - 2ª FASE)

A passagem de um determinado sistema físico, de uma configuração para outra, pode ser descrita por meio de uma matriz. Suponha que a matriz S, abaixo, represente a passagem da configuração 1 para a configuração 2 desse sistema, sendo $alpha$ um número real:

$S=egin{pmatrix} 0 &0 &1 \ alpha &1 &1 \ -1& -1 &alpha end{pmatrix}$

a) Para quais valores de $alpha$ o determinante da matriz acima é igual a zero?

b) Se $alpha$ = 0, calcule a matriz inversa $S^{-1}$ , que representa a passagem da configuração 2 para a configuração 1 desse sistema.

Gabarito:

Resolução:

a) Calculando a determinante da matriz por cofatores, temos:

$det(S)=egin{vmatrix} 0 &0 &1 \ alpha &1 &1 \ -1& -1 &alpha end{vmatrix} = 0cdotegin{vmatrix} 1 & 1\ -1 & alpha end{vmatrix} - 0cdotegin{vmatrix} alpha & 1\ -1 & alpha end{vmatrix} + 1cdotegin{vmatrix} alpha & 1\ -1 & -1 end{vmatrix}= -alpha+1$

Igualando a zero, temos:

$-alpha+1 = 0 Leftrightarrow alpha = 1$

b) Se $alpha$ = 0, temos que a matriz S será:

$S=egin{pmatrix} 0 &0 &1 \ 0 &1 &1 \ -1& -1 &0 end{pmatrix}$

Calculando a matriz inversa através eliminação de Gauss-Jordan, temos:

$left( egin{array}{rrccccc} 0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \ -1 & -1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 end{array} ight) overset{L_3leftrightarrow L_1}{ ightarrow} left( egin{array}{rrccccc} -1 & -1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 end{array} ight) overset{L_1cdot(-1) ightarrow L_1}{ ightarrow}$

$left( egin{array}{rrccccr} 1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 end{array} ight) overset{L_2-L_3 ightarrow L_2}{ ightarrow} left( egin{array}{rrccrcr} 1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 end{array} ight) overset{L_1-L_2 ightarrow L_1}{ ightarrow}$

$left( egin{array}{rrccrrr} 1 & 0 & 0 & | & 1 & -1 & -1 \ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 end{array} ight)$

Dessa forma, temos que a matriz inversa de S, será:

$S^{-1} = left( egin{array}{rrr} 1 & -1 & -1 \ -1 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 0 end{array} ight)$

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