Questão 7

UFPR 2017

Matemática

(UFPR - 2017 - 2ª FASE)

a) Faça o que se pede. a) Seja $alphain [0,frac{pi}{2}]$ . Sabendo que $sen;alpha=0,6$ , calcule cos 𝛼 e o determinante da matriz $A=egin{vmatrix} cos;alpha &4 \ 1 &3 end{vmatrix}$

b) Encontre todos os valores de $hetain mathbb{R}$ para os quais a matriz $B=egin{pmatrix} cos; heta &sen; heta &0 \ 1& cos; heta&sen; heta \ 1&sqrt{2} & 1 end{pmatrix}$ tem determinante det(B) = 1.

Gabarito:

Resolução:

Encontrando o valor do $cos{(alpha)}$ :

$sin^2{(alpha)} + cos^2{(alpha)} = 1$

$0,6^2 + cos^2{(alpha)} = 1$

$0,36 + cos^2{(alpha)} = 1$

$cos^2{(alpha)} = frac{100-36}{100}$

$cos^2{(alpha)} = frac{64}{100}$

$cos{(alpha)} = sqrt{frac{64}{100}}$

$cos{(alpha)} = frac{8}{10}$

$cos{(alpha)} = 0,8$

Então:

$ext{det}left( egin{array}{cc} 0,8 & 4\ 1 & 3 end{array} ight) = 2,4-4 = -1,6$

$B = left| egin{array}{ccc} a & b &c\ d & e &f \ g&h&i end{array} ight|$

$ext{det}(B) = 1$

$ext{det}(B) = cos^2{( heta)} + sin^2{( heta)} - sqrt{2}cdot cos{( heta)}cdot sin{( heta)} - sin{( heta)}$

$cos^2{( heta)} + sin^2{( heta)} - sqrt{2}cdot cos{( heta)}cdot sin{( heta)} - sin{( heta)} =1$

$1 - sqrt{2}cdot cos{( heta)}cdot sin{( heta)} - sin{( heta)} =1$

$- sqrt{2}cdot cos{( heta)}cdot sin{( heta)} - sin{( heta)} =0$

$sin{( heta)}[-sqrt{2}cdot cos{( heta)} - 1] =0$

Temos então duas opções:

1º Caso:

$sin{( heta)} = 0$

$Rightarrow heta = kpi$

2º Caso:

$-sqrt{2} cdot cos{( heta)} - 1=0$

$-sqrt{2} cdot cos{( heta)} =1$

$cos{( heta)} = -frac{1}{sqrt{2}}$

$cos{( heta)} = -frac{sqrt{2}}{2}$

$Rightarrow heta = frac{3pi}{4} + 2kpi$ ou $heta = frac{5pi}{4} + 2kpi$

Porém:

$frac{5pi}{4} + 2kpi = -frac{3pi}{4} + 2kpi$

Portanto:

$S= { heta in mathbb{R} / heta = kpi ext{ou} pm frac{3pi}{4}, forall k in mathbb{Z} }$

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